Раздел журнала "Компьютерный мост", посвященный жудожественному творчеству математика Фоменко А.Т.

 Цитируется ниже по онлайн-версии CD-ROM приложения к книге Г.Р.Громова
"
От гиперкниги к гипермозгу: информационные технологии
эпохи Интернета. Эссе, диалоги, очерки
."


 

Comp_bridge_cover

 

 

 

 

Компьютерный мост, 1/92

 

 
 

Фоменко А.Т.

 

Статья «Современная математика в наглядных образах» воспроизводится
на CD ROM приложении к книге Г.Громова «От гиперкниги к гипермозгу…»
с согласия Академика А.Т.Фоменко.


Геометрическое воображение и интуиция играют огромную роль в современных математических исследованиях, особенно в связанных с математической физикой, геометрией, топологией. Во многих глубоких научных математических работах, посвященных сложным специальным вопросам (напри мер, многомерной геометрии, вариационному исчислению и т.п.), активно используется выработанный при исследовании двумерных и трехмерных образов "наглядный жаргон", вроде "разрежем поверхность", "склеим листы поверхности", "приклеим цилиндр", "вывернем сферу наизнанку", "присоединим ручку" и проч. Такая терминология - не прихоть математиков, а "производственная необходимость", поскольку ее употребление и само

Geometrical imagination and intuition play а very important role in modern mathematical studies, especially in those connected with mathematical physics, geometry and topology. In many profound mathematical works devoted to very complicated problems (for example, multidimensional geometry, variational calculus, etc.), "visual slang" of two- and three-dimensional geometry is widely used: "cutting а surface", "pasting the leaves of а surface", "pasting а cylinder", "turning а sphere inside out", "mounting а handle", etc. These terms have been called forth by necessity rather than mathematicians' caprice, because their use in the mathematical mentality of professionals is absolutely necessary for

математическое мышление авторов-профессионалов в терминах этих образов совершенно необходимы при доказательстве многих технически невероятно трудных результатов. Довольно часто доказательство того или иного математического факта удается сначала "увидеть" в математических терминах, а лишь затем (следуя этой наглядной идее) оформить в виде логически непротиворечивого рассуждения. Иногда это очень трудно и требует серьезных затрат интеллектуальной энергии. Однако целесообразность таких затрат психологически оправдывается наглядной и красивой геометрической картиной, уже сложившейся в голове исследователя и убеждающей его в правильности избранного пути. Таким образом, часто критерий

obtaining many extraordinarily complicated results. It is а rather common situation that the proof of а mathematical fact can at first be "seen" using some mathematical terms, and then, (according to this visual idea) be shaped into а logically self-consistent speculation. Sometimes this process is very difficult and requires great intellectual effort. However, these efforts are repaid in а psychological way by the beautiful and clear picture formed in а researcher's mind. This picture convinces the researcher that he is on the right track. Therefore, the beauty of а geometrical image can often serve as а criterion for choosing the optimum way for further formal proofs.

 

 

 

красоты того или иного геометрического образа служит компасом для выбора оптимального пути дальнейшего формально-логического доказательства.

У каждого профессионального математика "личный" комплекс представлений о внутренней геометрии своего (известного ему) математического мира и о наглядных образах, с которыми ассоциируются те или иные абстрактные математические понятия (в том числе - в алгебре, теории чисел, математическом анализе и т.д.). Весьма интересно, что у разных математиков одни и те же абстракции часто рождают примерно одинаковые наглядные представления. В большинстве случаев их очень трудно нарисовать на бумаге. Графический материал, предлагаемый читателю, - это попытка "сфотографировать изнутри" сложный, математический мир, богато населенный образами и понятиями современной геометрии (в широком понимании этого термина). Эти графические листы либо основаны на совершенно конкретных математических конструкциях, идеях, теоремах, изображают реальные математические объекты и процессы, либо отражают различные приемы восприятия тех или иных абстрактных математических понятий, например бес-

Each professional mathematician has а "personal" set of ideas regarding the internal geometry of his intrinsic mathematical world, as well as visual images associated with certain abstract mathematical concepts (including those of algebra, number theory, mathematical analysis, etc.). It is very interesting that different mathematicians often use similar visual images to express the same abstract ideas. In many cases, they are very difficult to draw on а sheet of paper. These graphic pieces presented to the reader are an attempt to make а "photo from the inside" of the complicated mathematical world, which is saturated with images and ideas of modern geometry (this term being understood in а wide sense). These graphic works are based on either specific mathematical constructions, ideas, and theorems, and serve as illustrations of actual mathematical objects and processes, or, they reflect different ways of perceiving certain abstract mathematical ideas, such as infinity, continuity, homeomorphism, homotopy, etc.

From this viewpoint, one of the most important regions of

конечности, непрерывности, гомеоморфизма, гомотопии и т.п.

С этой точки зрения в особенно выгодном положении находится одна из важнейших математических наук - топология. Она изучает, в основном, свойства различных объектов, сохраняющиеся при их "деформациях" (остановимся на таком наглядном уровне и не будем вникать в более точные определения). Так, при деформациях эластичной сферы (хотя бы футбольной камеры) длины линий, нарисованных на ней, меняются. Однако сохраняется следующее важное свойство: любая замкнутая петля, изображенная на сфере, стягивается по ней в точку. Это пример простейшего топологического свойства сферы. Оно отличает ее от, скажем, тора (бублика), на котором есть замкнутые петли (в частности, параллели и меридианы тора), в точку не стягивающиеся.

Читатель, желающий глубже вникнуть в "наглядный мир" современной математики, может обратиться к книге А.Т. Фоменко "Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире", которая выходит в 1990 г. в Москве, в издательстве Московского университета.

mathematics, topology, is in the most favorable position. Princiраlly, it deals with the properties of various objects that remain intact in their "deformations" (it would be better to stop on such а visual level, not going into more profound definitions). For example, when an elastic sphere, е.g. а balloon, is deformed, the lengths of lines drawn on it are certainly changed but а very important property is still ргеserved: any closed loop drawn on the sphere can be reduced to а point. This is an example of the simplest topological properties of а sphere, which distinguishes it from, for example, а torus. This geometrical object can have some closed loops drawn on it (for example, parallels and meridians) that cannot be reduced to а point.

А reader who wants to enter the depth of the "visual world" of modern mathematics, may address the book by А.Fomenko entitled, "Naglyadnaya geometriya i topologiya. Geometricheskie obrazy v геаl'nom mire." (Visual geometry and topology. Geometrical images in the real world), published by Moscow State University in 1990.


Авторские комментарии к графическим работам А.Т. Фоменко

1) Топологический зоопарк.
Геометрия, топология, минимальные поверхности.

Изображены некоторые двумерные полиэдры, возникающие в топологии, геометрии и теории минимальных поверхностей. Они позволяют наглядно продемонстрировать нетривиальные математические теоремы. Справа вверху - юмористическая сценка: оживший полиэдр разваливается на составные части - раковины (скорпионы). Изогнутый к голове хвост скорпиона наглядно моделирует конструкцию этого полиэдра. Хорошо видно, как именно нужно склеивать раковины, чтобы восстановить весь полиэдр. В центральной галерее средневекового замка (внутри которого расположена выставка) видно выворачивание наизнанку двумерного тора, в котором проделана дырка (вырезан маленький диск). Оказывается, если вывернуть такой продырявленный тор наизнанку (с помощью гомеоморфизма в трехмерном пространстве), то в результате снова получится тор. Однако при этом параллель и меридиан начального тора поменяются местами. После выворачивания внутренняя поверхность тора станет внеш-

Author' s comments on the works by А.Т.Fomenko

1) А topological zoo.
Geometry, topology, minimal surfaces.

Some two-dimensional polyhedra used in topology, geometry, and minimal surfaces theory are painted. They provide an opportunity to visually demonstrate some non-trivial mathematical theorems. In the top right corner, а humorous scene is shown: а resuscitated polyhedron falls to pieces, it's components being shells (scorpions). The scorpion's tail bent toward its head clearly demonstrates this polyhedron's design. The proper way of pasting the shells to reconstruct the polyhedron is clearly seen. The process of turning а holed two-dimensional torus inside out is portrayed in the central gallery of а medieval castle (the exhibition is inside it). It turns out that if such а holed torus is turned inside out (by а homeomorphism in а three-dimensional space), then а torus is again obtained. However, parallels and meridians of the initial torus exchange places after such

 

 

ней и наоборот. Слева внизу (в тени колонны) лежит "ожерелье Антуана" - известный объект в общей топологии. Рядом (на освещенной площадке) - минимальная поверхность (мыльная пленка) с границей в виде окружности. Она обладает одним замечательным свойством. Эта пленка может быть непрерывно стянута на свою границу (без разрывов). На топологическом языке это означает, что граничная окружность пленки является ее деформационным ретрактом. Этот пример Дж. Ф. Адамса поразителен потому, что поверхность моделируется устойчивой мыльной пленкой, затягивающей проволочный контур в трехмерном евклидовом пространстве. Как видно на рисунке, такая минимальная поверхность получается склейкой обычного листа Мебиуса с так называемым тройным листом Мебиуса. Для профессионального тополога стоит отметить еще одно (неочевидное) свойство этой поверхности: ее можно немного видоизменить таким образом, что получится "продырявленный дом Бинга" (т.е. дом Бинга, из которого удален маленький диск, или выколота одна точка). Другими словами, "продырявленный дом Бинга" можно реализовать в трехмерном пространстве в виде устойчивой мыльной пленки,

а procedure, the internal surface of the torus becoming the external one, and vice versa. In the left bottom corner is "Antoin's necklace", а well-known object in general topology. Beside it, on а lightened place, is а minimal surface (а soap film) bounded by а circle. This surface has а remarkable property: it can be continuously, without tearing, contracted to its boundary. Topologically speaking, the boundary circle of the film is its deformational retract. The striking feature of this example, belonging to J.F.Adams, is that the surface is modeled by а stable soap film, which closes up а wire loop in the three-dimensional Euclidean space. As can be seen from the picture, висЬ а minimal surface can be obtained by pasting а usual Mobius' strip to а sо-called triple Mobius' strip. One extra (non-trivial) property of such а surface should be noted for professional topologists: it can be slightly reshaped into а "holed Bing's house" (i.е. а Bings' house, from which а small disk is removed). In other words, the "holed Bing's house" can be realized in the three-dimensioned

затягивающей проволочный контур, гомеоморфный окружности. В центре выставочного зала лежит 2-адический соленоид - топологический объект.

2) Звездная диаграмма Герцшпрунга - Рессела.
Звездная астрономия.

Чтобы выяснить, нет ли какой-нибудь зависимости между спектральным классом и светимостью звезды, в начале ХХ века два астронома (голландец Герцшпрунг и американец Рессел) независимо друг от друга построили специальную диаграмму. Вдоль горизонтальной оси они откладывали последовательность спектральных классов, а по вертикальной оси - абсолютные звездные величины этих звезд так, чтобы вверх по оси они убывали и, следовательно, их свети мости росли. Поэтому каждой звезде на диаграмме соответствует точка, и если точек (звезд) много, то можно попытаться обнаружить зависимость между указанными характеристиками. Оказалось, что звезды расположились на диаграмме не хаотически, а концентрированно вдоль нескольких "линий" (довольно размытых, но, тем не менее, вполне отчетливых).

На нашем рисунке условно изображены так называемая главная последовательность

space as а stable soap film bounded by а wire contour homeomorphic to а circle. And in the center of the exhibition hall, а 2-adic solenoid, а topological object, is placed.

2) The star diagram (of Hertzsprung and Russel).
Stellar astronomy.

At the beginning of the 20th century, two astronomers (Hertzsprung and Russel) independently plotted а special stellar diagram in an attempt to find а correlation between the spectral class of а star and its luminousity. Along the horizontal axis, the sequence of the spectral classes was plotted, while the vertical axis corresponded to the absolute magnitudes of the stars, во that their values decreased up the vertical axis, and, correspondingly, the luminousity of the stars increased in that direction. Therefore, each star is represented by а point on this diagram, and if there are many of them, one can try to find а correlation between the mentioned parameters. It turned out that the stars concentrated along а few lines (slightly diffused, but nevertheless, quite distinct), rather than being scattered chaotically.

The so-called principal stellar sequence and the sub-dwarfs are sketched in our picture. In as-


звезд и субкарлини. В астрономии эта диаграмма сегодня называется диаграммой спектра-светимости. Солнце расположено приблизительно в центре изогнутой кривой, показанной на рисунке. Несмотря на то, что звезды вдоль "размытой кривой" имеют различные характеристики, очевидно, что их связывает какая-то общность. Сегодня нет общепризнанной версии: какова природа этой общности. Может быть, звезды сформировались в одной области Вселенной, или у них примерно одинаковый возраст, химический состав и т.п.?

3) Расслоенное пространство.
Топология многообразий.

На рисунке изображено расслоение, касательное к окружности с одной угловой точкой. База расслоения - это окружность, вложенная в двумерную плоскость и имеющая одну особую точку, в которой касательная к окружности не определена. Слои расслоения - это касательные. Расслоение, касательное к окружности, гомеоморфно двумерному цилиндру (каждую касательную можно развернуть и направить по нормали к окружности, вложенной в плоскость). На рисунке условно изображен этот процесс: касательные повернулись на разные углы; одна из касательных "отстала"

tronomy, this diagram is nowadays termed the luminousity diagram. The sun is placed approximately in the center of the bent curve as shown in the picture. Althoundh the stars beside the "diffused curve" have different characteristics, they evidently have some common features. No common suggestion about the nature of such а correlation exists today. Perhaps, the stars had been formed in а common region of the Universe, or maybe they have nearly the same chemical composition, age, etc.

3) Fiber space.
Topology of the manifolds.

This picture represents а fibration, langential to а circle with а single corner point. The base of this fibration is а circle inserted into а two-dimensional plane. This circle has one singular point, in which the tangential line to the circle is not defined. The fibration layers are the tangential lines. The fibration, tangential to the circle, is homeomorphic to а two-dimensional cylinder (each tangential line can be rotated to the normal position to the circle inserted into the plane). This process is schematically portrayed in the picture: the tangential lines are rotated by different angles, one line "lagging behind" the

   

от остальных. Так как в особой точке касательная не определена, то слои на рисунке "утоньшаются" по мере приближения к ней; окружность выглядит "каплей", повисшей на особой точке. Чтобы не загромождать рисунок, касательные к правой половине окружности не изображены.

4) Деформация римановой поверхности алгебраической функции.
Теория функций.

Показана "трехмерная модель" деформации римановой поверхности алгебраической функции w=[(z - a)(z - b)(z - c)(z- d)]1/2 в четырехмерном евклидовом пространстве R4, отождествленном с двумерным комплексным пространством С2. Рнманова поверхность такой функции гомеоморфна двумерной сфере с одной ручкой, т.е. двумерному тору (при условии, что все корни а, b, с, d полинома степени 4 различны). С точки зрения теории алгебраических функций для построения указанной римановой поверхности нужно взять два экземпляра двумерной сферы, на каждом из которых сделано по два разреза, и склеить (отождествить) соответствующие берега разрезов. В результате получится тор, представленный как две сферы, соединенные двумя трубками- цилиндрами (см. рисунок).

others. Since the tangential line is not defined at that singular point, the layers pictured are thinned as they approach this point; the circle looks like а "drop" hung by this singular point. To simplify the picture, the lines tangential to the right side of the circle are not presented.

4) Deformation of the Rlemann surface of an algebraic function.
Theory of the algebraic functions.

Presented here is а three- dimensional model of deformation of the Riemann surface of the algebraic function w=(z - a)(z - b)(z - c)(z- d)]1/2 in а four-dimensional Euclidean space R4, which is identified with а two-dimensional complex space С2. The Riemann surface of this function is homeomorphic to а two-dimensional sphere with one handle, i.e. to а two-dimensional torus (under the condition that all roots а, b, с, d of the 4th degree polynomial are different). From the viewpoint of the theory of algebraic functions, two-dimensional spheres can serve as the raw material for constructing this surface. Each sphere should be cut in two places, then the corresponding cur edges should be glued together. These actions will call forth а torus presented as two spheres connected by two tubes (cylinders)


Такова картина в случае, когда все четыре корня простые (не кратные).

Другое дело, когда полином начинает деформироваться так, что его корни стремятся слиться (т.е. когда в пределе получаются кратные корни). Тогда риманова поверхность также реагирует на эту деформацию. Она начинает деформироваться в C2 так, что на ней появляются исчезающие циклы, возникают особые точки. В результате риманова поверхность перестает быть гладкой в C2. Пример такой деформации и показан на рисунке. Два корня стремятся слиться в один. В результате верхняя сфера уменьшается в размерах, а нижняя, напротив, увеличивается. Для удобства зрителя часть поверхности обеих сфер удалена, чтобы можно было наблюдать "внутренность" сфер. В пределе получается двумерная сфера с двумя отождествленными точками - риманова поверхность алгебраической функции w=(z - a)[(z- c)(z - d)]1/2, корень которой а - кратный.

5) Теорема Пуассона - Лапласа и принципы Плато.
Вариационное исчисление.

Двумерная поверхность, разделяющая две физические среды (например, газ - газ, газ - жидкость или жидкость - жидкость), называется поверхностью (границей) раздела сред.

(see the picture). This will be the picture if all four roots are simple ones (not multiple).

The situation will be quite different, if the polynomial is deformed sо that its roots are approaching each other (i.е. when multiple roots appear in а limit). The Riemann surface is then also deformed in C2 so that vanishing cycles and singular points appear on it. As а result, the Riemann surface loses its smoothness in C2. An example of this deformation is presented in the picture. Two roots are approaching each other. Consequently, the size of the top sphere is decreased, while the bottom sphere is, on the contrary, swollen. For the reader's convenience, а part of the sphere surfaces is removed во that the inner part of the spheres is shown. In а limit, а two-dimensional sphere with two identified points is obtained, which is the Riemann surface of the algebraic function w=(z - a)[(z- c)(z - d)]1/2 having а multiple root а.

5) The Poisson-Laplace theorem and Plateau's principles.
Calculus of variations.

А two-dimensional surface separating two physical media (е.g. gas-gas, gas-liquid, or liquid-liquid) is called the surface

 

 

Если эта физическая система находится в равновесии, то теорема Пуассона - Лапласа утверждает, что поверхность раздела имеет постоянную среднюю кривизну. При этом кривизна пропорциональна разности давлений в средах. Наглядный пример таких поверхностей мыльные пузыри или мыльная пена, образующаяся при взбивании мыльного раствора. Соседние мыльные пузыри могут создавать (стремясь вдавиться друг в друга) сингулярные ребра. Эти ребра, состоящие из сингулярных точек мыльной поверхности, выглядят как очень сложная пространственная структура (граф со множеством вершин). Согласно одному из принципов Плато (Plateau), на одном сингулярном ребре могут встречаться (устойчиво) лишь три листа мыльной пленки, причем под равными углами 1200. В сингулярной вершине могут сходиться лишь четыре сингулярных ребра (и тоже под равными углами). Если мыльный пузырь очень осторожно проткнуть тонкой проволокой (см. рисунок), то он не лопнет, а будет обволакивать проволоку. Математические задачи этого процесса чрезвычайно разнообразны. В частности, представляет интерес описание графов, возникающих как графы сингулярных ребер внутри мыльной пены.

6) Тяжелый волчок, плавающий в пространстве.
Гамильтонова механика, симплектическая геометрия.

of the interphase boundary.If this physical system is in an equilibrium, then, according to the Poisson-Laplace theorem, the interphase boundary has а соnstant mean curvature. The ситчаture value is proportional to the difference of the pressure of the media. Visual examples of these surfaces are soap' bubbles or soap films. Adjacent soap bubbles (which tend to press into one another) can form singular edges. These edges, consisting of singular points of the soap surface, look like а very complicated three-dimensional structure (а graph with many vertices). According to one of Plateau's principles, only three sheets of the soap film can meet at а stable singular edge. Besides, they must form equal angles of 1200. Only four singular edges can meet at а singular vertex (the angles between them must also be equal). И а soap bubble is very gingerly pierced through by а thin wire (see the picture), it will envelop the wire rather than burst. This process calls forth many different mathematical problems. For example, it would be interesting to describe the graphs formed by the singular edges of soap foam.

6) А heavy top floating in the Universe.
Hamiltonian mechanics, symplectic geometry.


 

 

Тяжелый гироскоп - это волчок, т.е. симметричное твердое тело, стремительно вращающееся вокруг своей оси. Замечательно, что ось волчка сохраняет свою ориентацию в окружающем пространстве, независимо от перемещений аппарата, внутри которого расположен гироскоп (например, ракеты). Это важный прибор, применяемый в системах ориентации разнообразных летательных аппаратов в окружающем пространстве. Уравнения движения тяжелого твердого тела изучаются сегодня методами теории дифференциальных уравнений, симплектической геометрии, алгебры и топологии. Если твердое тело имеет "произвольную форму", т.е. не обладает никакими симметриями, то его движение хаотично (тело будет беспорядочно кувыркаться в пространстве).

7) Анти-Дюрер. Из цикла: "Диалог с авторами XVI века".
Геометрическая фантазия на темы общематематических концепций. Датчики случайных чисел.

Рисунок возник после размышлений (с позиций математика) над известной гравюрой А. Дюрера "Меланхолия". За прошедшие со времен Дюрера три столетия многое изменилось в восприятии научных достижений современников. Точку зрения автора на эту

А heavy gyroscope is а rapidly spinning top (i.е. а solid body). The top axis has а remarkable property of conserving its orientation in space, independent of the motion of the apparatus (for example, а rocket) containing а gyroscope. It is an important instrument used in the orientation systems of various aircraft. The equations of motion of heavy solids are now studied by the methods of the theory of differential equations, symplectic geometry, algebra and topology. If а solid body has an "arbitrary shape", i.e. it has по symmetry, its motion will be chaotic (i.е. it will make disorderly somersaults in space).

7) Anti-Durer. From the series, "А dialogue with the authors of the 16th century".
А geometrical fantasy on general mathematical concepts.

The picture was called forth by thoughts (from а mathematician's viewpoint) over the well-known engraving "Melancholy" by А. Durer. The attitude toward the scientific advances of the contemporaries has undergone great changes since Durer's time, three centuries ago. The


эволюцию читатель может понять, сравнив гравюру Дюрера с авторской графической работой. Приведем лишь один пример. Дюрер поместил в верхний правый угол магический квадрат. Здесь он заменен десятичным разложением числа е = 2,71828182845904523536
0287471352662497757247093
6
99959574966967
... Эта последовательность цифр записана по квадратной спирали, раскручивающейся от центра квадрата (см. цифру 2 в центре) против часовой стрелки. Изображены только 121 знак десятичного разложения е. Такие десятичные разложения (некоторых иррациональных чисел) используются сегодня как датчики случайных чисел во многих статистических исследованиях. Дело в том, что последовательность цифр, образующая десятичное разложение е (или, например, ), является (в некотором смысле, который мы здесь не можем уточнять ввиду недостатка места) случайной последовательностью. Сегодня (с помощью компьютеров) вычислено много тысяч знаков десятичного разложения и е. Зритель может также найти изображение сепаратрисной диаграммы критической точки индекса I гладкой функции, заданной на трехмерном пространстве (см. "колокольчик" с языком-сепаратрисой рядом с

reader can understand the authir's opinion by comparing Durer's engraving with the author's work. For example, а magic square is shown in the top right corner of Durer's work. Неге, the decimal decomposition of е = 2,71828182845904523536
0287471352662497757247093
6
99959574966967
... is placed instead. This sequence of digits is placed in а square spiral which is untwisted clockwise from the center of the square (note the digit 2 in the center). Only 121 digits from the decimal decomposition of e are depicted. Such decimal decompositions (of some irrational numbers) are now used as random number generators in many statistical studies. The sequence of digits forming the decimal decomposition of e (or,, for example), serve as (in а sense that we will not elaborate on here) а random sequence. Today, with the help of computers, there are many 1000s of digits calculated from the decimal decomposition of and e. The reader can also find а picture of а separatrix diagram of а critical point of index I of а smooth function defined on а three-dimensional space (see the "bell" with the tongue-separatrix near the num
-

числом e). Форма облаков, заполняющих небо над океаном, также несет в себе математический смысл.

8) Спайны двух трехмерных гиперболических компактных замкнутых многообразий нанменьшей сложности.

Гамильтонова и симплектическая геометрия, топология трехмерных многообразий, гиперболическая геометрия.

Центральные математические объекты данной графической работы - два полиэдра, поднимающихся над горизонтом. Они изображают двумерные окрестности одномерных остовов в спайках двух трехмерных многообразий, названных в заголовке. По двумерному полиэдру-спайну можно восстановить 3-многообразие однозначно (с точностью до гомеоморфизма). Эти два замечательных многообразия первые примеры изоэнергетических поверхностей, на которых любое гамильтоново дифференциальное уравнение неинтегрируемо в классе гладких интегралов общего положения. Этот факт был открыт в результате соединения теории сложности 3-многообразий (С.В. Матвеев) и теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых уравнений (А.Т. Фоменко). Затем были обнаружены и другие замечательные свойства

ber e). The shape of the clouds in the sky over the ocean, also has а mathematical meaning.

8) Тhе spines of two three-dimensional compact closed manifolds of minimal complexity.

Hamiltonian апd symplectic geometry, topology of three-dimensional manifolds, hyperbolic geometry

The central mathematical objects in this graphic work are the two polyhedra rising above the horizon. They represent the two-dimensional neighborhoods of the one-dimensional skeletons in the spines of the two three-dimensional manifolds specified in the heading. А 3-manifold can be unequivocally (to а homeomorphism) reconstructed from its two-dimensional spine. These two remarkable manifolds are the first examples of isoenergy surfaces on which any Hamiltonian differential equation is non-integral, in the class of smooth integrals in the general position. The discovery of this fact was а result of combining the theory of complexity of 3-manifolds (S.V. Matveev) with the theory of topological classification of integral Hamiltonian equations (А.Т. Fomenko). Later, these manifolds (they had been earlier studied by W. Thurston and J. Weeks

 

 

этих многообразий (они изучались ранее с других точек зрения В. Терстоном и Дж. Виксом. В частности, С.В. Матвеев и А.Т. Фоменко обнаружили, что эти два многообразия имеют наименьшую сложность в классе всех гиперболических замкнутых компактных 3-многообразий, а потому, вероятно, одно из этих многообразий имеет и наименьший возможный гиперболический объем (равный, приблизительно, 0,94...). Сложность этих многообразий равна 9, в чем можно убедиться, подсчитав количество вершин кратности 4 в двумерных спайнах, показанных на нашем рисунке. На любом 3- многообразии сложности, меньшей, чем 9, всегда существует хотя бы одно интегрируемое гамильтоново дифференциальное уравнение.

9) Анти-Брейгель. Из цикла: "Диалог с авторами XVI века".

Внематематические ассоциации в математических образах.

Эта работа создана по мотивам известной гравюры Питера Брейгеля "Алхимики". Она не иллюстрирует конкретной математической теоремы, однако целиком сконструирована из математических идей и образов. Зритель сталкивается здесь с понятием математической бесконечности (уходяшие за горизонт чаши с расплавл-

from another point of view), were found to have some other remarkable properties. For example, S.V. Matveev апд А.Т. Fomenko had found that these two manifolds had the minimal complexity in the class of all hyperbolic closed compact 3-manifolds, and, therefore, one of these manifolds probably had the minimal possible hyperbolic volume (of approximately 0.94...). The complexity of these manifolds is equal to 9, which can be checked just by counting the number of vertices of multiplicity 4 in the two-dimensional spines presented in our picture. On any 3-manifold of complexity less than 9, there exists at least one integral Hamiltonian differential equation.

9) Anti-Breugel. А work from the series, "Dialogue with the authors of the 16th century".

The non-mathematical associations in mathematical images.

This work was created after the famous engraving "Alchemists" by Pieter Breugel. It does not illustrate а specific mathematical theorem, but its construction consists of mathematical ideas and images. Thе reader is faced here with the idea of mathematical infinity (the row of cups filled with molten metal

 

 


енным металлом), с динамическими потоками, аналитическими функциями (облака в небе), с гомеоморфизмом и гомотопией (в виде деформаций человеческого тела) и т.д. Автор трактует эту работу как отражение эволюции научных представлений за триста лет, прошедших со времен Брейгеля.

10) Искушение святого Антония.

Внематематические ассоциации в математических образах.

Работа создана по мотивам известной средневековой легенды об искушении Святого Антония. При этом использован язык математических образов. Видны поверхности Бельтрами (воронкообразные поверхности, на которых реализуется гиперболическая метрика Лобачевского; см. "трубы" в левой верхней части картины). Поверхность Бельтрами образована вращением плоской кривой специального вида вокруг ее асимптоты. Представлены идеи математической бесконечности, гомеоморфизма, непрерывной деформации, напоминается о некоторых еще нерешенных знаменитых проблемах, в частности - о проблеме Пуанкаре (является ли односвязное компактное трехмерное многообразие стандартной сферой) и о теореме Ферма.

receding to the horizon), dynamical flow, analytical functions (clouds in the sky), homeomorphism and homotopy (presented as the deformation of а human body), etc. The author treats this work as а reflection of the evolution undergone by scientific ideas since ВгещеГя time, three centuries ago.

10) Temptation of  St. Anthony.

The non-mathematical associations in mathematical images.

This work was created after the well-known medieval legend about the temptation of St. Anthony. Неге, the language of mathematical images is used. The Beltramy surfaces are shown (the funnel-shaped surfaces, on which the hyperbolic metric of Lobachevsky is realized; see the tubes in the top left side of the picture). The Beltramy surface is formed by rotating а flat curve of а specific shape around its asymptote. The ideas of mathematical infinity, homeomorphism, and continuous deformation are presented. Some famous problems that still wait for а solution are also remembered, е.g. the Poincare problem (whether the single-connected compact three-dimensional manifold is а standard sphere), and Fermat's theorem.

11) Математическая бесконечность и ее реализации в геометрии и топологии. Алгоритмическая неразрешимость задачи классификации многообразий в размерностях, больших чем три.

Общематематические концепции.

Математическая бесконечность наиболее наглядно проявляется в геометрии и топологии. Это объясняется не только их спецификой (они имеют дело с наглядными математическими образами), но и тем, что "геометрическая бесконечность" проявляется здесь на самых первых стадиях изучения этих наук. Уже понятие предельной точки множества основано на идее бесконечности. Одно из наиболее глубоких проявлений математической бесконечности - алгоритмическая неразрешимость некоторых задач топологии. Каждое гладкое компактное многообразие (любой размерности) можно представить в виде симплициального комплекса. Следовательно, составив таблицу, в которой перечислены все эти симплексы, их грани и коэффициенты инцидентностей, мы можем задать многообразие этой таблицей, рассматривая ее как код многообразия. Возникает задача алгоритмической классификации многообразий данной размерности. А именно: существует ли алгоритм,

11) Mathematical infinity and its connection with geometry and topology. The algorithmic insolubility of the problem of manifold classification for dimensions greater than 3.

General mathematical ideas.

Mathematical infinity is геvealed most clearly in geometry and topology. This can be explained not only by their specific features (they deal with visual mathematical images), but also by the fact that "geometrical infinity" appears in the very first steps of studying these disciplines. А concept as simple as а limit point of а set is based on the idea of infinity. One of the deepest manifestations of mathematical infinity is the algorithmic insolubility of some topological problems. Any smooth compact manifold (of any dimension) can be presented in the form of а simplicial complex. So, having drawn а table containing all such simplices, their faces and incidence coefficients, one can use this table to define а manifold, and regard the table as а manifold cade. Неге, the problem of algorithmic classification of the manifolds of а given dimension arises. Namely, the problem is in иЪе1Ъег there exists an algorithm which operates according to а standard program

 

 

действующий по единой программе (допускающий в принципе реализацию на компьютере) и отвечающий на вопрос: определяют два произвольных кода (поданных на его "вход") диффеоморфные (или гомеоморфные) многообразия или нет?

Классификация многообразий размерностей 1 и 2 очень проста (в частности, известен их полный "список").

Относительно многообразий размерности 3 ситуация существенно иная: сегодня не только нет "алгоритма распознавания и классификации" трехмерных многообразий, но даже трудно сформулировать правдоподобную гипотезу о его существовании.

Начиная с размерности 4, картина проясняется: доказано, что многообразия этой размерности невозможно классифицировать (это строгая математическая теорема). Итак, не существует алгоритма, определенного на множестве кодов всех четырехмерных многообразий (и тем более на множестве кодов многообразий размерностей 5, б и т.д.) и отвечающего на вопрос: задают два любых кода, поданных на его "вход", диффеоморфные многообразия или нет? Графическая работа навеяна размышлениями на эту тему. Зритель может видеть различные способы кодирования многооб-

(which, in principle, can be realized on а computer) and provides an answer to the question: do two arbitrary codes define diffeomorphic (or homeomorphic) manifolds or not?

The classification of the manifolds of dimensions 1 and 2 is quite simple (in particular, their complete list is well-known).

The situation is cardinally different for the manifolds of dimension 3: today there is not only no "algorithm for their recognition and classification", but it is even difficult to formulate а verisimilar hypothesis about its existence.

Starting with dimension 4, the picture begins to elucidate: it is proved' that the manifolds of this dimension cannot be classified (this is а strong mathematical theorem). And so, there exists no algorithm defined on the set of codes of all four-dimensional manifolds (and, indeed, on the set of codes of the manifolds of dimensions 5, 6, etc.), which answers the question: "Do two arbitrary input codes define diffeomorphic manifolds or not"? This graphic work is called forth by reflections on this problem. The reader can see different


разий и проникнуться ощущением некоторой таинственности, которой до сего времени окутана эта проблема для случая трехмерных многообразий.

12) Гомеоморфизм сохраняет многие существенные свойства геометрического объекта.

Топология.

Гомеоморфизм - одно из важнейших понятий топологии. Наглядно его можно представить себе как взаимнооднозначное, непрерывное в обе стороны отображение (соответствие), которое деформирует объекты, "сделанные из тончайшей резины". При такой деформации запрещены "разрывы" и "склейки". Рисунок позволяет проиллюстрировать это понятие. Здесь изображены две человеческие фигуры, напоминающие композицию из центра знаменитой картины Рембрандта "Возвращение блудного сына". Однако этот знаменитый образ угадывается далеко не сразу, поскольку вся композиция подвергнута гомеоморфизму, исказившему первоначальную картину до неузнаваемости. Это важное свойство гомеоморфизма. Он может менять метрические (легко узнаваемые) свойства объекта: растягивать, сжимать его, менять расстояния между различными точками. Однако он сохраняет топологические свойства объекта (не столь легко распознаваемые), на-

methods of coding the manifolds and be filled with а sense of some type of mystery, which shrouds the сазе of three-dimensional manifolds.

12) Homeomorphism conserves many essential properties of а geometrical object.

Topology.

The 'idea of homeomorphism is one of the most important concepts of topology. It can be visually illustrated as а bilaterally continuous bijection (correspondence) that deforms objects made from the thinnest rubber. In such а deformation, "tearings" and "pastings" are forbidden. The picture helps to illustrate this idea. Неге, one can see two human figures who resemble the central composition of Rembrandt's canvas, "Homecoming of а Prodigal Son". However, this famous image Ьесоmes visible by по means at once, since the composition is subjected to а homeomorphism that has distorted the initial painting beyond recognition. This is an important feature of the homeomorphism. It can change the metrical (easily recognized) properties of an object, stretch and compress it, and change the distances between different points. However, the topological properties (not so easily recognized) are preserved, е.g.

 

 

пример число "дырок" в объекте, число "ручек".

13) Теорема о фундаментальных группах четырехмерных многообразий.

Теория многообразий.

Фундаментальная группа "измеряет" число различных, неэквивалентных замкнутых петель, которые можно "нарисовать" на данном многообразии. Уместен вопрос: какие группы могут быть представлены как фундаментальные группы гладких многообразий"?

Для многообразий размерностей 1 и 2 ответ очень прост. Все такие группы давно описаны и изучены. В размерности 3 не всякая группа может быть представлена как фундаментальная в замкнутом трехмерном многообразии.

Начиная с размерности 4, ситуация меняется. Оказывается, что любая конечно-порожденная (т.е. с конечным числом образующих и конечным числом соотношений) группа может быть представлена в виде фундаментальной в некотором четырехмерном гладком компактном связном замкнутом многообразии.

На рисунке показан один из центральных приемов, используемых при доказательстве этой известной топологической теоремы. Сначала нужно построить так называемые "ручки индекса 1", для реали-

the number of "holes" in an object, the number of handles.

13) The theorem on fundamental groups of four-dimensional manifolds.

Manifolds theory.

This fundamental group measures the "number" of different non-equivalent closed loops that can be "drawn" on а given manifold. А natural question arises: "Which groups can be represented as fundamental groups of smooth manifolds?"

For the manifolds of dimension 1 or 2, the answer is very simple. Аll such groups have long ago been described and studied. For dimension 3, there are groups which cannot be represented as fundamental of а closed three-dimensional manifold.

Starting with dimension 4, the situation changes. It turns out that any finitely-generated group (ье. with а finite number of generators and а finite number of relations), can be represented as а fundamental group of а four-dimensional manifold that is smooth, compact, connected and closed.

The picture shows one of the central methods used for proving this well-known topological theorem. First, the so-called "handles of index 1" should be constructed in order to realize the genera-


зации образующих данной группы. Трубчатые окрестности таких ручек показаны на рисунке внизу в виде последовательности лепестков, уходящих вдаль. Затем нужно приклеить к этому пространству некоторое множество "ручек индекса 2", реализующих соотношения в данной группе. Одна из таких ручек изображена в центре рисунка (вверху) как огромный темный и гибкий объект, обволакивающий "костяк", построенный на предыдущем шаге. Это тело изображено как бы "стекающим вниз", что соответствует характеру производимой операции: мы должны приклеить эту фигуру по некоторому непрерывному отображению ее границы. А отображение может существенно деформировать объект.

14) Этап доказательства теоремы существования глобально минимальных поверхностей.

Вариационное исчисление, минимальные поверхности.

Минимальные поверхности - это поверхности наименьшего объема. Их моделью служат границы раздела двух физических сред, находящихся в равновесии. Например, мыльные пленки, затягивающие замкнутые проволочные контуры (когда их вынимают из мыль-

tors of the given group. The tube neighbourhoods of such handles are shown at the bottom of the picture in the form of а sequence of petals receding into the distance. Then а set of "handles of index 2" corresponding to the correlations in this group should be pasted to this space. One of these handles is shown in the top of the central part of the picture as а huge, dark, flexible object enveloping the "skeleton" constructed on the previous step. This body is shown to be flowing downward, which corresponds to the character of the executed operation; this figure should be pasted along а certain continuous map of its boundary. This map can deform the object significantly.

14) А step in а proof for the theorem of existence of globally minimal surfaces.

Calculus of variations, minimal surfaces.

Minimal surfaces are the surfaces of minimal volume. They can be modeled by the equilibrium interphase boundary. For example, the soap films bounded by closed wire contours (when they are pulled out from the soap solution), are minimal sur-

ного раствора), - минимальные поверхности. Знаменитая гипотеза Плато в вариационном исчислении утверждает, что на любой "контур" всегда можно натянуть поверхность наименьшей площади (или наименьшего объема, если речь идет о многомерных поверхностях). Для двумерных поверхностей эта проблема Плато была решена в начале ХХ века, а для многомерных - в полном объеме решение пока отсутствует. Однако доказаны глубокие теоремы, решающие проблему Плато для специальных классов поверхностей. Графическая работа показывает один из центральных этапов в доказательстве теоремы, решающей многомерную проблему Плато в классе так называемых гомологических поверхностей. В процессе минимизации объема поверхности возможно начнут вырастать тонкие "усы", практически не влияющие на ее объем (или площадь), но зато существенно меняющие метрические свойства и характер ее расположения в объемлющем пространстве.

Из рисунка видно, что эти "усы" могут быть весьма прихотливы, их появление может "испортить" минимизирующий процесс. Чтобы этого не случилось, приходится "срезать" такие усы. Аккуратное математическое оформление подобно-

faces. The famous Plateau hypothesis in calculus of variations, states that any "contour" can be covered by a surface of minimal area (or by а minimal volume if many-dimensional surfaces are considered). At the beginning of the 20th century, this problem was solved for two-dimensional surfaces but for the many-dimensional ones, such а solution sо far is absent. However, profound theorems which solve the Plateau problem for the specific classes of the surfaces have been proved. This graphical piece illustrates one of the central steps in the proof of the theorem which solves the many-dimensional Plateau problem for the class of so-called homological surfaces. In the process of minimization of the surface volume, thin "whiskers" may eventually grow, which practically does not affect the volume (or area), but essentially changes its metrical properties and its position in the enveloping space.

The picture shows that these "whiskers" can have а rather whimsical form. Their appearance may "spoil" the minimization process, so they should be "cut away". It is the neat mathe-

 

 


го процесса и составляет один из самых нетривиальных моментов в доказательстве. В конце концов удается сгладить поверхность и доказать существование ее предела (при стремлении площади поверхности к минимуму).

15) Проблема алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы в классе всех трехмерных многообразий.

Компьютерная и алгоритмическая топология.

В трехмерной топологии одна из интереснейших - это проблема алгоритмического распознавания стандартной трехмерной сферы в классе всех трехмерных многообразий. Сфера - простейшее многообразие, и, казалось бы, нет особых трудностей при ответе на вопрос: какое-либо предъявленное вам многообразие сфера или нет? Однако при попытке поставить задачу математически точно - немедленно обнаруживаются серьезнейшие препятствия. Дело в том, что алгоритм должен работать с "кодами многообразий". Одно и то же многообразие (в том числе и сфера) будет представлено бесконечным числом различных кодов (объект можно кодировать по-разному). Как распознать - задает предъявленный компьютеру код стандартную сферу или нет? Задача алгоритмического

matical formulation of this process that turns out to be one of the most non-trivial moments of the proof. Eventually, one can manage to smooth over the surface and prove the existence of its limit (when the surface area approaches its minimum).

15) The problem of the algorithmic recognition of the standard three-dimensional sphere in the class of all three-dimensional manifolds.

Computer and algorithmic topology.

One of the most interesting problems in three-dimensional topology is in the recognition of а standard three-dimensional sphere in the class of all three- dimensional manifolds. А sphere is the simplest manifold, and no difficulties seem to be caused by the question of whether а given manifold is а sphere or not. However, an attempt to formulate а precise mathematical problem immediately calls forth very serious obstacles, because the necessary algorithm must deal with the "manifold codes". One manifold (including а sphere) can be represented by an infinite number of different codes (one object can be encoded in many ways). How can а computer find out if а given code represents the standard sphere? The problem of algorithmic recognition of the codes of а spe-

 

 

распознавания кодов конкретного объекта в множестве всех других кодов трудна потому, что один и тот же объект (сфера) может "маскироваться" под разными "личинами" (кодами). Это можно представить себе на примере гомеоморфизмов обычной двумерной сферы. Нелегко вообразить, что сложная фигура на переднем плане в действительности - всего лишь сфера, подвергнутая достаточно сложному гомеоморфизму. Зритель может оценить сложность проблемы распознавания на этом наглядном примере.

16) Задача о вихрях.

Гамильтонова механика, симплексическая геометрия, дифференциальные уравнения.

Многие фундаментальные законы физики и механики описываются гамильтоновыми дифференциальными уравнениями. Задача поиска их решений, т.е. интегрирования таких уравнений, - одна из наиболее актуальных в современной физике и геометрии. Графическая работа основана на геометрических образах, связанных с известной задачей о вихрях. Вихрь - это особая точка в потоке жидкости (или газа), в окрестности которой жидкость начинает вращаться, как показано на рисунке. Частицы жидкости движутся по спиралям, приближаясь к центру вихря или удаляясь от него.

cific object within the set of all other codes is a difficult one. The reason is that one object (the sphere) can be "hidden" under various "masks" (codes). This can be conceived in the case of the homeomorphisms of an ordinary two-dimensional sphere. It is very djfficult to recognize that the complex figure in the foreground is, in reality, the usual sphere which has been subjected to а rather complex homeomorphism. The reader can assess the complexity of the recognition problem by this concrete example.

16) The vortices problem.

Hamiltonian mechanics, symplectic geometry, differential equations.

Many fundamental laws of physics and mechanics can be formulated through Hamilronian differential equations. The problem of finding their solution (i.е. integration) is one of the most topical problems in modern physics and geometry. This graphic piece is based on geometrical images connected with the vortices problem. А vortex is а singular point in the flow of fluids, in whose vicinity fluid begins to rotate, as shown in the picture. The fluid particles move along the spirals toward the vortex center or away from it. The vortices formed in the real at-

Всем хорошо знакомы вихри, возникающие в реальной атмосфере (в том числе, ураганы, тайфуны). Одна из математических моделей - поток жидкости, текущей по какой-то двумерной поверхности. Если в потоке возникло несколько вихрей, то они взаимодействуют друг с другом, перемещаясь по поверхности в соответствии с довольно сложными законами. На рисунке зритель видит взаимодействие, по крайней мере, двух вихрей. В некоторых частных случаях "задача о вихрях интегрируе-

mosphere (including hurricanes and typhoons) are familiar to everybody. One of the mathematical models used in this field is the flow of fluids along а two-dimensional surface. If several vortices are formed in the fluid, they will interact with each other, moving along the surface by rather complex trajectories. The interaction of at least two vortices is shown in the picture. In some  specific cases, "the vortices problem is integral" (the


ма" (удается описать движение центров вихрей с помощью "формул").

17) Особые точки алгебраических поверхностей.

Алгебраическая геометрия.

Пейзаж, изображенный на графическом листе, "соткан" из большого числа различных примеров алгебраических поверхностей. Алгебраическая поверхность задается в трехмерном пространстве при помощи полиномиального уравнения (т.е. как поверхность уровня функции, являющейся полиномом). Очень важны особые точки таких поверхностей, в которых поверхность имеет особенность, сингулярность. Эти особенности можно (хотя и весьма сложно) классифицировать. Типичные из них напоминают острия, клювы, лезвия (некоторые показаны на рисунке). Такие точки естественно появляются в гeoметрической оптике, в задачах о распространении волновых фронтов, в теории минимальных поверхностей и т.д.

18) Пространственная задача и тел в небесной механике.

Небесная механика и геометрия.

В первом приближении можно считать, что реальные планеты солнечной системы, астероиды и т.п. движутся в одной плоскости, называемой

motion of the vortices' centers can be described by some "formulae").

17) Singular points of the algebraic surfaces.

Algebraic geometry.

The landscape portrayed in the graphic piece is "woven" from а large number of different examples of algebraic surfaces. An algebraic surface can be set into the three-dimensional space by а polynomial equation (i.е. as а level surface of а polynomial equation). The singular points of such surfaces (the points of singularity of the surfaces) are of utmost importance. These singularities can be (though this problem is а very difficult one) classified. Typical singularities resemble spikes, beaks, blades (some of them can be seen in the picture). These points appear quite naturally in geometrical optics, in the problem of propagation of wave fronts, in the theory of minimal surfaces, etc.

18) The spatial и-bodies problem in celestial mechanics.

Celestial mechanics and geometry.

In the first approximation, it can be assumed that the real planets of the solar system, asteroids, etc., move in one plane called the ecliptic plane. And it

плоскостью эклиптики. Центр масс всей этой системы можно считать совмещенным с Солнцем. Движение системы управляется ньютоновским потенциалом согласно законам классической механики. Эволюция всей системы n тел определяется начальными данными: надо задать положения гравитирующих масс и их скорости в начальный момент времени. Известно, что общие решения этой системы уравнений весьма сложны. Например, согласно теореме Брунса - Пуанкаре,

may be assumed that the center of mass in this system coincides with the sun. The motion of this system is regulated by the Newtonian potential, according to the laws of classical mechanics. The evolution of the whole n-bodies system is determined by the initial conditions; it is necessary to set the positions of the gravitating masses and their velocities at the initial moment. The general solutions in these types of equations are known to be very complex. For example, according to the Poin-

 

 

система не допускает лишних аналитических интегралов движения. Еще более сложна задача описания движения n тел в трехмерном пространстве, не расположенных в одной плоскости (см. рисунок). Каждое тело условно изображено в виде тяжелой птицы, парящей в пространстве не по собственному желанию, а в соответствии с взаимным притяжением со стороны других птиц. Вся система вращается вокруг более или менее общего центра масс, однако при этом некоторые тела могут удаляться от него, некоторые - приближаться (или даже "падать" на центр масс) и т.д. С математической точки зрения задача n тел - одна из самых интересных, поскольку здесь сталкиваются такие области знания, как геометрия, небесная механика, теория дифференциальных уравнений и т.д.

19) Якобиевы поля и сопряженные точки на геодезических.

Вариационное исчисление и геометрия.

Пейзаж состоит из различных математических объектов, центральный из них - светящийся шар с двумя "крыльями" вверху слева. Граница это- го светящегося облака состоит из нескольких изогнутых дуг, напоминающих изогнутый лук,

care theorem, the system does not allow additional analytical motion integrals. The problem of describing the three-dimensional motion of n bodies, which are not situated in one plane, is even more difficult (see the picture). Each body is depicted as а heavy bird soaring in space not according to its own desires but in accordance with its mutual attraction to the other birds. The whole system is rotated around а common (approximately) center of mass, but some  bodies can go away from the center, while others can approach it (or even "fall upon" the center of mass), etc. From the mathematical viewpoint, the n-bodies problem is one of the most interesting ones, because it lays on the border of such sciences as geometry, celestial mechanics, theory of differential equations, etc.

19) The Jacoby fields and conjugate points on the geodesic lines.

Calculus of variations and geometry.

The landscape consists of several mathematical objects. The central one is the fluorescent sphere with two "wings" at the top left. The border of this luminous cloud consists of several curved arcs resembling а bent bow. The whole figure can


причем вся фигура может быть получена как результат последовательного изгибания лука (при натягивании его тетивы). Эта картина хорошо знакома всем специалистам, сталкивающимся с понятием сопряженных точек вдоль геодезических. Геодезические - это линии кратчайшей длины (локально). При бесконечно малом изгибании геодезической, которое сохраняет геодезичность кривой, возникают "секторы", показанные на рисунке. При таких изгибаниях некоторые точки геодезической могут остаться на месте. Это и есть сопряженные точки. Формально они определяются как точки, в которых якобиевы поля (определенные вдоль геодезической) обращаются в ноль. Таких независимых якобиевых полей может быть несколько. Их число - это индекс геодезической. Светлый диск или шар в центре сектора изображает шар, ортогональный геодезической в ее середине (между соседними сопряженными точками). Он состоит из векторов всех якобиевых полей, которые можно задать вдоль данной геодезической. Размерность этого шара (диска) и равна индексу геодезической.

20) Минимальные конусы над минимальными многообразиями.

Топология минимальных поверхностей.

be obtained as а result of sequential bending of the bow. This picture is familiar to all scientists dealing with the idea of conjugate points along the geodesic lines. Geodesic lines are lines of minimum length (local). And as portrayed in the picture, after the infinitesimal bending of а geodesic line, which conserves its main property, "sectors" are formed. In such bendings, some points of а geodesic line may remain immobile. These are the conjugate points. They can be formally determined as the points where the Jacoby fields (defined along the geodesic lines) approach zero. There can be several Jacoby fields. Their number is the index of the geodesic line. The light disk or ball in the center of the sector represents the ball, ortogonal to the geodesic line in its middle (between two adjacent conjugate points). It consists of the vectors of all the Jacoby fields which can be set along the given geodesic line. The dimension of such а ball (disk) is equal to the geodesic index.

20) Minimal cones щмук еру minimal manifolds.

Topology of the minimal surfaces.

This piece is saturated with various mathematical images.

 

 

Эта работа насыщена разнообразными математическими образами. Среди них стоит отметить особые точки аналитических функций, задачу о биллиарде (движение идеальных шаров в областях различной формы, причем шары отражаются от стенок области по классическому закону отражения: угол падения равен углу отражения), операцию разрезания поверхности (и обратную ей операцию склейки берегов разрезов) и т.д. Однако центральный образ - это бесконечная последовательность изогнутых конусов, изображенных в виде "шатров" или перевернутых воронок. Вершина каждого такого конуса снабжена фигурой, условно изображающей тот или иной тип особенности в этой точке. Минимальные конусы естественно возникают в теории минимальных поверхностей как конусы, аппроксимирующие эти поверхности вблизи особых точек. Специальный раздел вариационного исчисления изучает типы таких конусов. В качестве "основания конуса" может быть не только обычная сфера, но и существенно более сложные многообразия. Чем сложнее такое многообразие, тем сложнее вершина конуса.

21) Гауссова кривизна и средняя кривизна поверхности.

Теория поверхностей.

Зритель видит достаточно сложную поверхность. Можно

Among these, we would like to note the singular points of analytic functions: the billiard problem (the problem of ideal balls in motion in the areas of various shapes, the balls being reflected from the wall in accordance with the classical reflection law: the angle of incidence is equal to the angle of reflection); the operation of cutting а surface (and the inverse operation of pasting the cut edges) etc. But the central image is an infinite sequence of bent cones portrayed as marquees or funnels turned upside down. The vertex of each cone is furnished with а figure corresponding to the type of singularity of this point. Minimal cones naturally appear in the theory of minimal surfaces. These minimal cones approximate these minimal surfaces within the vicinity of the singular points. The types of such cones are studied in the special division of calculus of variations. As the "cones' base", not only can the usual sphere be used, but also far more complicated manifolds. The тоге сотplicated а manifold, the more complicated the cones's vertex.

21) Gauss curvature and the mean curvature of the surface.

Theory of surfaces.

One can distinguish the regions, which consist of points, where the Gauss cur-


выделить области, состоящие из точек, где гауссова кривизна положительная (шапочка), отрицательная (седло) или нулевая (цилиндрическая поверхность). Например, правая вертикальная часть поверхности состоит из точек отрицательной гауссовой кривизны. В целом структура объекта напоминает геликоид - поверхность, образующуюся при скольжении вращающейся прямой вдоль другой неподвижной прямой (ей ортогональной). Возникает поверхность, похожая на винтовую (каждая точка движется по винтовой спирали). При этом поверхность разбивается на слои, которые задают структуру расслоения.

Краткие сведения об авторе.

Фоменко Анатолий Тимофеевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московскоro университета. Специалист в области геометрии, в том числе компьютерной топологии, вариационного исчисления и гамильтоновой механики. Именно он решил известную многомерную проблему Плато в теории минимальных поверхностей. Он создал теорию топо-

vature is positive (cap), negative (saddle), or zero (cylinder surface). For example, the right vertical part of the surface consists of points where the Gauss curvature is negative. On the whole, the object's structure геsembles а helicoid, а surface formed by sliding а rotating straight line along another, immobile, straight line (which is perpendicular to the first one). А surface similar to а screw surface is formed (each point moves along а screw spiral). Неге, the surface is partitioned into layers which set the fibrarion structure.

Brief information about the author.

Fomenko, Anatoly Timofeevich, Doctor of Sciences (Mathematics), Professor of the Department of Higher Geometry and Topology, Faculty of Mathematics and Mechanics, Moscow State University. А well-known expert in the field of geometry, including computer topology, calculus of variations, and Hamiltonian mechanics. It was Fomenko who solved the famous spectral multidimensional Plateau problem in the theory of minimal surfaces.

 

 

 

 

логической классификации гамильтоновых интегрируемых дифференциальных уравнений.

Лауреат премии Московского математического общества (1974 г.) и лауреат премии президиума Академии Наук СССР (1987 г.). Автор более 130 научных математических работ и

Не created the theory of topological classification of the Hamiltonian differential equations.

Fomenko is а prize-winner of the Moscow Mathematical Society (1974) and of the Presidium of the Academy of Sciences of the USSR (1987). Не is also the

одиннадцати книг (монографии, учебники) по математике и приложениям. Все эти книги переведены на английский язык ведущими зарубежными издательствами. В 1991 г. избран членом-корреспондентом АН СССР.

author of тоге than 130 mathematical works and 11 books (monographs, textbooks) in mathematics and its applications. All these books have been translated into English by principal foreign scientific publishers. In 1991 he became correspondence member of the Academy of Sciences of the USSR.